{l}{3a+14b=4}{13a+19b=13} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b өчен чишелеш

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, a'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, a өчен чишегез.

$$3a+14b=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 14b алыгыз.

$$3a=-14b+4$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

\frac{1}{3}'ны -14b+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Башка тигезләмәдә a урынына \frac{-14b+4}{3} куегыз, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

13'ны \frac{-14b+4}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

-\frac{182b}{3}'ны 19b'га өстәгез.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{52}{3} алыгыз.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{125}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$b=\frac{13}{125}$$

\frac{13}{125}'ны b өчен a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры a өчен чишә аласыз.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{14}{3}'ны \frac{13}{125} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{4}{3}'ны -\frac{182}{375}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$a=\frac{106}{125}$$

Система хәзер чишелгән.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

a һәм b матрица элементларын чыгартыгыз.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a һәм 13a тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 13'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Гадиләштерегез.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 39a+57b=39'ны 39a+182b=52'нан алыгыз.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

39a'ны -39a'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 39a һәм -39a шартлар кыскартылган.

$$182b-57b=52-39$$

182b'ны -57b'га өстәгез.

$$125b=52-39$$

52'ны -39'га өстәгез.

$$125b=13$$

Ике якны 125-га бүлегез.

$$b=\frac{13}{125}$$

\frac{13}{125}'ны b өчен 13a+19b=13'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры a өчен чишә аласыз.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

19'ны \frac{13}{125} тапкыр тапкырлагыз.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{247}{125} алыгыз.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Ике якны 13-га бүлегез.

$$a=\frac{106}{125}$$

Система хәзер чишелгән.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$