{l}{25x+110y=6100}{x+y=50} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$25x+110y=6100$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 110y алыгыз.

$$25x=-110y+6100$$

Ике якны 25-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{25}'ны -110y+6100 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{22y}{5}+244 куегыз, x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

-\frac{22y}{5}'ны y'га өстәгез.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 244 алыгыз.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{17}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{970}{17}$$

\frac{970}{17}'ны y өчен x=-\frac{22}{5}y+244'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{22}{5}'ны \frac{970}{17} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

244'ны -\frac{4268}{17}'га өстәгез.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 25'га тапкырлагыз.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

Гадиләштерегез.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 25x+25y=1250'ны 25x+110y=6100'нан алыгыз.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

25x'ны -25x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 25x һәм -25x шартлар кыскартылган.

$$110y-25y=6100-1250$$

110y'ны -25y'га өстәгез.

$$85y=6100-1250$$

6100'ны -1250'га өстәгез.

$$85y=4850$$

Ике якны 85-га бүлегез.

$$y=\frac{970}{17}$$

\frac{970}{17}'ны y өчен x+y=50'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{970}{17} алыгыз.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$