{l}{2y=3x-6}{5x+4y=8} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x өчен чишелеш

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. 3x'ны ике яктан алыгыз.

$$2y-3x=-6$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$2y-3x=-6$$

Тигезләмәнең ике ягына 3x өстәгез.

$$2y=3x-6$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

\frac{1}{2}'ны -6+3x тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Башка тигезләмәдә y урынына \frac{3x}{2}-3 куегыз, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

4'ны \frac{3x}{2}-3 тапкыр тапкырлагыз.

$$6x-12+5x=8$$

6x'ны 5x'га өстәгез.

$$11x-12=8$$

Тигезләмәнең ике ягына 12 өстәгез.

$$11x=20$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$x=\frac{20}{11}$$

\frac{20}{11}'ны x өчен y=\frac{3}{2}x-3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{3}{2}'ны \frac{20}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

-3'ны \frac{30}{11}'га өстәгез.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. 3x'ны ике яктан алыгыз.

$$2y-3x=-6$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

y һәм x матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. 3x'ны ике яктан алыгыз.

$$2y-3x=-6$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

2y һәм 4y тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8y+10x=16'ны 8y-12x=-24'нан алыгыз.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

8y'ны -8y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8y һәм -8y шартлар кыскартылган.

$$-12x-10x=-24-16$$

-12x'ны -10x'га өстәгез.

$$-22x=-24-16$$

-24'ны -16'га өстәгез.

$$-22x=-40$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$x=\frac{20}{11}$$

\frac{20}{11}'ны x өчен 4y+5x=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

5'ны \frac{20}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{100}{11} алыгыз.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$