{l}{2x-y=4}{3x-5y=15} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x-y=4$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$2x=y+4$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{2}'ны y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{2}+2 куегыз, 3x-5y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

3'ны \frac{y}{2}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

\frac{3y}{2}'ны -5y'га өстәгез.

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$-\frac{7}{2}y=9$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{18}{7}$$

-\frac{18}{7}'ны y өчен x=\frac{1}{2}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{2}'ны -\frac{18}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

2'ны -\frac{9}{7}'га өстәгез.

$$x=\frac{5}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

Гадиләштерегез.

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-10y=30'ны 6x-3y=12'нан алыгыз.

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$-3y+10y=12-30$$

-3y'ны 10y'га өстәгез.

$$7y=12-30$$

12'ны -30'га өстәгез.

$$7y=-18$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$y=-\frac{18}{7}$$

-\frac{18}{7}'ны y өчен 3x-5y=15'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

-5'ны -\frac{18}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{90}{7} алыгыз.

$$3x=\frac{15}{7}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{5}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$