{l}{2x-y=2}{3x+2y=11} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x-y=2$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$2x=y+2$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

\frac{1}{2}'ны y+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{2}+1 куегыз, 3x+2y=11.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=11$$

3'ны \frac{y}{2}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=11$$

\frac{3y}{2}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{7}{2}y+3=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$\frac{7}{2}y=8$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{16}{7}$$

\frac{16}{7}'ны y өчен x=\frac{1}{2}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{16}{7}+1$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{2}'ны \frac{16}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{8}{7}+1$$

1'ны \frac{8}{7}'га өстәгез.

$$x=\frac{15}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{16}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 11$$

Гадиләштерегез.

$$6x-3y=6,6x+4y=22$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+4y=22'ны 6x-3y=6'нан алыгыз.

$$6x-6x-3y-4y=6-22$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$-3y-4y=6-22$$

-3y'ны -4y'га өстәгез.

$$-7y=6-22$$

6'ны -22'га өстәгез.

$$-7y=-16$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$y=\frac{16}{7}$$

\frac{16}{7}'ны y өчен 3x+2y=11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\times \frac{16}{7}=11$$

2'ны \frac{16}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{32}{7}=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{32}{7} алыгыз.

$$3x=\frac{45}{7}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{15}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$