{l}{2x-3y=5}{4x-5y=7} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 4 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-2$$

$$y=-3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x-3y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 3y өстәгез.

$$2x=3y+5$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

\frac{1}{2}'ны 3y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{3y+5}{2} куегыз, 4x-5y=7.

$$4\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-5y=7$$

4'ны \frac{3y+5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$6y+10-5y=7$$

6y'ны -5y'га өстәгез.

$$y+10=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$y=-3$$

-3'ны y өчен x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{3}{2}'ны -3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-9+5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны -\frac{9}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-2,y=-3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 7\\-2\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-2,y=-3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x-3y=5,4x-5y=7$$

2x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$8x-12y=20,8x-10y=14$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x-10y=14'ны 8x-12y=20'нан алыгыз.

$$8x-8x-12y+10y=20-14$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$-12y+10y=20-14$$

-12y'ны 10y'га өстәгез.

$$-2y=20-14$$

20'ны -14'га өстәгез.

$$-2y=6$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$y=-3$$

-3'ны y өчен 4x-5y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-5\left(-3\right)=7$$

-5'ны -3 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+15=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$4x=-8$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=-2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-2,y=-3$$