{l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+y=k$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$2x=-y+k$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

\frac{1}{2}'ны -y+k тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+k}{2} куегыз, 5x+2y=1-k.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

5'ны \frac{-y+k}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

-\frac{5y}{2}'ны 2y'га өстәгез.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5k}{2} алыгыз.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

Ике якны -2-га тапкырлагыз.

$$y=7k-2$$

-2+7k'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

-\frac{1}{2}'ны -2+7k тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

\frac{k}{2}'ны 1-\frac{7k}{2}'га өстәгез.

$$x=1-3k$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

2x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

Гадиләштерегез.

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+4y=2-2k'ны 10x+5y=5k'нан алыгыз.

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$5y-4y=5k+2k-2$$

5y'ны -4y'га өстәгез.

$$y=5k+2k-2$$

5k'ны -2+2k'га өстәгез.

$$y=7k-2$$

-2+7k'ны y өчен 5x+2y=1-k'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

2'ны -2+7k тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+14k-4=1-k$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -4+14k алыгыз.

$$5x=5-15k$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=1-3k$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1-3k,y=7k-2$$