{l}{2x+y=11}{5x+3y=30} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+y=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$2x=-y+11$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{2}'ны -y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+11}{2} куегыз, 5x+3y=30.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

5'ны \frac{-y+11}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

-\frac{5y}{2}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{55}{2} алыгыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

-\frac{1}{2}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{2}'ны -\frac{5}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

2x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

Гадиләштерегез.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+6y=60'ны 10x+5y=55'нан алыгыз.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$5y-6y=55-60$$

5y'ны -6y'га өстәгез.

$$-y=55-60$$

55'ны -60'га өстәгез.

$$-y=-5$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен 5x+3y=30'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+3\times 5=30$$

3'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+15=30$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$5x=15$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=5$$