{l}{2x+7y=15}{3x-5y=23} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+7y=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7y алыгыз.

$$2x=-7y+15$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

\frac{1}{2}'ны -7y+15 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-7y+15}{2} куегыз, 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

3'ны \frac{-7y+15}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

-\frac{21y}{2}'ны -5y'га өстәгез.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{45}{2} алыгыз.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{31}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{1}{31}$$

-\frac{1}{31}'ны y өчен x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{7}{2}'ны -\frac{1}{31} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{15}{2}'ны \frac{7}{62}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{236}{31}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Гадиләштерегез.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x-10y=46'ны 6x+21y=45'нан алыгыз.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$21y+10y=45-46$$

21y'ны 10y'га өстәгез.

$$31y=45-46$$

45'ны -46'га өстәгез.

$$31y=-1$$

Ике якны 31-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{31}$$

-\frac{1}{31}'ны y өчен 3x-5y=23'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

-5'ны -\frac{1}{31} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{31} алыгыз.

$$3x=\frac{708}{31}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{236}{31}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$