{l}{2x+4y=12}{5x-8y=16} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+4y=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$2x=-4y+12$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

\frac{1}{2}'ны -4y+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-2y+6$$

Башка тигезләмәдә x урынына -2y+6 куегыз, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

5'ны -2y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$-10y+30-8y=16$$

-10y'ны -8y'га өстәгез.

$$-18y+30=16$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 30 алыгыз.

$$-18y=-14$$

Ике якны -18-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{9}$$

\frac{7}{9}'ны y өчен x=-2y+6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

-2'ны \frac{7}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

6'ны -\frac{14}{9}'га өстәгез.

$$x=\frac{40}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

2x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Гадиләштерегез.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x-16y=32'ны 10x+20y=60'нан алыгыз.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$20y+16y=60-32$$

20y'ны 16y'га өстәгез.

$$36y=60-32$$

60'ны -32'га өстәгез.

$$36y=28$$

Ике якны 36-га бүлегез.

$$y=\frac{7}{9}$$

\frac{7}{9}'ны y өчен 5x-8y=16'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

-8'ны \frac{7}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{56}{9} өстәгез.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{40}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$