{l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=120$$

$$y=180$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=780$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+780$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+780 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+390 куегыз, 5x+4y=1320.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

5'ны -\frac{3y}{2}+390 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

-\frac{15y}{2}'ны 4y'га өстәгез.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1950 алыгыз.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=180$$

180'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+390'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

-\frac{3}{2}'ны 180 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-270+390$$

390'ны -270'га өстәгез.

$$x=120$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=120,y=180$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=120,y=180$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

2x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

Гадиләштерегез.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+8y=2640'ны 10x+15y=3900'нан алыгыз.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$15y-8y=3900-2640$$

15y'ны -8y'га өстәгез.

$$7y=3900-2640$$

3900'ны -2640'га өстәгез.

$$7y=1260$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$y=180$$

180'ны y өчен 5x+4y=1320'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+4\times 180=1320$$

4'ны 180 тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+720=1320$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 720 алыгыз.

$$5x=600$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=120$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=120,y=180$$