{l}{2x+3y=4}{3x+2y=7} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+4$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{2}+2 куегыз, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+2y=7$$

3'ны -\frac{3y}{2}+2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{2}y+6+2y=7$$

-\frac{9y}{2}'ны 2y'га өстәгез.

$$-\frac{5}{2}y+6=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$-\frac{5}{2}y=1$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{5}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{2}{5}$$

-\frac{2}{5}'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{5}\right)+2$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны -\frac{2}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{5}+2$$

2'ны \frac{3}{5}'га өстәгез.

$$x=\frac{13}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{3}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

2x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$6x+9y=12,6x+4y=14$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+4y=14'ны 6x+9y=12'нан алыгыз.

$$6x-6x+9y-4y=12-14$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$9y-4y=12-14$$

9y'ны -4y'га өстәгез.

$$5y=12-14$$

12'ны -14'га өстәгез.

$$5y=-2$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$y=-\frac{2}{5}$$

-\frac{2}{5}'ны y өчен 3x+2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\left(-\frac{2}{5}\right)=7$$

2'ны -\frac{2}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{4}{5}=7$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{4}{5} өстәгез.

$$3x=\frac{39}{5}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{13}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$