{l}{2x+3y=23}{x-2y=-13} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 23 } \\ { x - 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=7$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+3y=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$2x=-3y+23$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+23\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3y+23 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+23}{2} куегыз, x-2y=-13.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}-2y=-13$$

-\frac{3y}{2}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{23}{2}=-13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{23}{2} алыгыз.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=7$$

7'ны y өчен x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{23}{2}$$

-\frac{3}{2}'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-21+23}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{23}{2}'ны -\frac{21}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=7$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 23+\frac{3}{7}\left(-13\right)\\\frac{1}{7}\times 23-\frac{2}{7}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=7$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+3y=23,x-2y=-13$$

2x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$2x+3y=23,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-13\right)$$

Гадиләштерегез.

$$2x+3y=23,2x-4y=-26$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x-4y=-26'ны 2x+3y=23'нан алыгыз.

$$2x-2x+3y+4y=23+26$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$3y+4y=23+26$$

3y'ны 4y'га өстәгез.

$$7y=23+26$$

23'ны 26'га өстәгез.

$$7y=49$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$y=7$$

7'ны y өчен x-2y=-13'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-2\times 7=-13$$

-2'ны 7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x-14=-13$$

Тигезләмәнең ике ягына 14 өстәгез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=7$$