{l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-65$$

$$y=70$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2x+2y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$2x=-2y+10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{2}'ны -2y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-y+5$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+5 куегыз, \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

\frac{1}{2}'ны -y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

-\frac{y}{2}'ны \frac{3y}{4}'га өстәгез.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{2} алыгыз.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

Ике якны 4-га тапкырлагыз.

$$y=70$$

70'ны y өчен x=-y+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-70+5$$

5'ны -70'га өстәгез.

$$x=-65$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-65,y=70$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-65,y=70$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

2x һәм \frac{x}{2} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{2}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

Гадиләштерегез.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, x+\frac{3}{2}y=40'ны x+y=5'нан алыгыз.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

x'ны -x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, x һәм -x шартлар кыскартылган.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

y'ны -\frac{3y}{2}'га өстәгез.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

5'ны -40'га өстәгез.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

Ике якны -2-га тапкырлагыз.

$$y=70$$

70'ны y өчен \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

\frac{3}{4}'ны 70 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{105}{2} алыгыз.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$x=-65$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-65,y=70$$