{l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n өчен чишелеш

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, m'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, m өчен чишегез.

$$2m+3n=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3n алыгыз.

$$2m=-3n+1$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2}'ны -3n+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә m урынына \frac{-3n+1}{2} куегыз, \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3}'ны \frac{-3n+1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-\frac{5n}{2}'ны -2n'га өстәгез.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{6} алыгыз.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{9}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$n=-\frac{1}{27}$$

-\frac{1}{27}'ны n өчен m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{2}'ны -\frac{1}{27} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{1}{18}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=\frac{5}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

m һәм n матрица элементларын чыгартыгыз.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m һәм \frac{5m}{3} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{5}{3}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{10}{3}m-4n=2'ны \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3}'нан алыгыз.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{10m}{3}'ны -\frac{10m}{3}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{10m}{3} һәм -\frac{10m}{3} шартлар кыскартылган.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

5n'ны 4n'га өстәгез.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{5}{3}'ны -2'га өстәгез.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$n=-\frac{1}{27}$$

-\frac{1}{27}'ны n өчен \frac{5}{3}m-2n=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-2'ны -\frac{1}{27} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2}{27} алыгыз.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$m=\frac{5}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$