{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2ax+by=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан by алыгыз.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Ике якны 2a-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a}'ны -by+14 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-by+14}{2a} куегыз, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2'ны \frac{-by+14}{2a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a}'ны 9y'га өстәгез.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{14}{a} өстәгез.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Ике якны 9+\frac{b}{a}-га бүлегез.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

\frac{14-19a}{9a+b}'ны y өчен x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a}'ны \frac{14-19a}{9a+b} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a}'ны -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}'га өстәгез.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2a'га тапкырлагыз.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Гадиләштерегез.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \left(-4a\right)x+18ay=-38a'ны \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28'нан алыгыз.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax'ны 4ax'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -4ax һәм 4ax шартлар кыскартылган.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by'ны -18ay'га өстәгез.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28'ны 38a'га өстәгез.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Ике якны -2b-18a-га бүлегез.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-\frac{-14+19a}{b+9a}'ны y өчен -2x+9y=-19'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9'ны -\frac{-14+19a}{b+9a} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} өстәгез.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$2ax+by=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан by алыгыз.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Ике якны 2a-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a}'ны -by+14 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-by+14}{2a} куегыз, -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2'ны \frac{-by+14}{2a} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a}'ны 9y'га өстәгез.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{14}{a} өстәгез.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Ике якны 9+\frac{b}{a}-га бүлегез.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

\frac{14-19a}{9a+b}'ны y өчен x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a}'ны \frac{14-19a}{9a+b} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a}'ны -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}'га өстәгез.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2a'га тапкырлагыз.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Гадиләштерегез.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \left(-4a\right)x+18ay=-38a'ны \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28'нан алыгыз.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax'ны 4ax'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -4ax һәм 4ax шартлар кыскартылган.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by'ны -18ay'га өстәгез.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28'ны 38a'га өстәгез.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Ике якны -2b-18a-га бүлегез.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-\frac{-14+19a}{b+9a}'ны y өчен -2x+9y=-19'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9'ны -\frac{-14+19a}{b+9a} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} өстәгез.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$