{l}{2a_{1}+d=20}{2a_{1}+5d=80} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a _ { 1 } + d = 20 } \\ { 2 a _ { 1 } + 5 d = 80 } \end{array} \right.$$

a_1, d өчен чишелеш

$$a_{1} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$d=15$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2a_{1}+d=20,2a_{1}+5d=80$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, a_{1}'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, a_{1} өчен чишегез.

$$2a_{1}+d=20$$

Тигезләмәнең ике ягыннан d алыгыз.

$$2a_{1}=-d+20$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$a_{1}=\frac{1}{2}\left(-d+20\right)$$

\frac{1}{2}'ны -d+20 тапкыр тапкырлагыз.

$$a_{1}=-\frac{1}{2}d+10$$

Башка тигезләмәдә a_{1} урынына -\frac{d}{2}+10 куегыз, 2a_{1}+5d=80.

$$2\left(-\frac{1}{2}d+10\right)+5d=80$$

2'ны -\frac{d}{2}+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$-d+20+5d=80$$

-d'ны 5d'га өстәгез.

$$4d+20=80$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 20 алыгыз.

$$4d=60$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$d=15$$

15'ны d өчен a_{1}=-\frac{1}{2}d+10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры a_{1} өчен чишә аласыз.

$$a_{1}=-\frac{1}{2}\times 15+10$$

-\frac{1}{2}'ны 15 тапкыр тапкырлагыз.

$$a_{1}=-\frac{15}{2}+10$$

10'ны -\frac{15}{2}'га өстәгез.

$$a_{1}=\frac{5}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$a_{1}=\frac{5}{2},d=15$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2a_{1}+d=20,2a_{1}+5d=80$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-2}&-\frac{1}{2\times 5-2}\\-\frac{2}{2\times 5-2}&\frac{2}{2\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\80\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 20-\frac{1}{8}\times 80\\-\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 80\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\15\end{matrix}\right)$$

a_{1} һәм d матрица элементларын чыгартыгыз.

$$a_{1}=\frac{5}{2},d=15$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2a_{1}+d=20,2a_{1}+5d=80$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2a_{1}+5d=80'ны 2a_{1}+d=20'нан алыгыз.

$$2a_{1}-2a_{1}+d-5d=20-80$$

2a_{1}'ны -2a_{1}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2a_{1} һәм -2a_{1} шартлар кыскартылган.

$$d-5d=20-80$$

d'ны -5d'га өстәгез.

$$-4d=20-80$$

20'ны -80'га өстәгез.

$$-4d=-60$$

Ике якны -4-га бүлегез.

$$d=15$$

15'ны d өчен 2a_{1}+5d=80'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры a_{1} өчен чишә аласыз.

$$2a_{1}+5\times 15=80$$

5'ны 15 тапкыр тапкырлагыз.

$$2a_{1}+75=80$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 75 алыгыз.

$$2a_{1}=5$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$a_{1}=\frac{5}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$a_{1}=\frac{5}{2},d=15$$