{l}{125x+110y=6100}{x+y=50} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=40$$

$$y=10$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$125x+110y=6100$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 110y алыгыз.

$$125x=-110y+6100$$

Ике якны 125-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{125}'ны -110y+6100 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} куегыз, x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

-\frac{22y}{25}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{244}{5} алыгыз.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{3}{25} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=10$$

10'ны y өчен x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

-\frac{22}{25}'ны 10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{244}{5}'ны -\frac{44}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=40$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=40,y=10$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=40,y=10$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 125'га тапкырлагыз.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

Гадиләштерегез.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 125x+125y=6250'ны 125x+110y=6100'нан алыгыз.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

125x'ны -125x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 125x һәм -125x шартлар кыскартылган.

$$110y-125y=6100-6250$$

110y'ны -125y'га өстәгез.

$$-15y=6100-6250$$

6100'ны -6250'га өстәгез.

$$-15y=-150$$

Ике якны -15-га бүлегез.

$$y=10$$

10'ны y өчен x+y=50'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+10=50$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 10 алыгыз.

$$x=40$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=40,y=10$$