{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$11x+19y=25$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 19y алыгыз.

$$11x=-19y+25$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11}'ны -19y+25 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-19y+25}{11} куегыз, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19'ны \frac{-19y+25}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

-\frac{361y}{11}'ны 11y'га өстәгез.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{475}{11} алыгыз.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{240}{11} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{31}{24}$$

\frac{31}{24}'ны y өчен x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{19}{11}'ны \frac{31}{24} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{25}{11}'ны -\frac{589}{264}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{24}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x һәм 19x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 19'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 11'га тапкырлагыз.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Гадиләштерегез.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 209x+121y=165'ны 209x+361y=475'нан алыгыз.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

209x'ны -209x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 209x һәм -209x шартлар кыскартылган.

$$361y-121y=475-165$$

361y'ны -121y'га өстәгез.

$$240y=475-165$$

475'ны -165'га өстәгез.

$$240y=310$$

Ике якны 240-га бүлегез.

$$y=\frac{31}{24}$$

\frac{31}{24}'ны y өчен 19x+11y=15'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11'ны \frac{31}{24} тапкыр тапкырлагыз.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{341}{24} алыгыз.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Ике якны 19-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{24}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$