{l}{-3x+5y=1}{4x-y=10} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$-3x+5y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$-3x=-5y+1$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

-\frac{1}{3}'ны -5y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y-1}{3} куегыз, 4x-y=10.

$$4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10$$

4'ны \frac{5y-1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10$$

\frac{20y}{3}'ны -y'га өстәгез.

$$\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{4}{3} өстәгез.

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{17}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

\frac{5}{3}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{1}{3}'ны \frac{10}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

-3x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -3'га тапкырлагыз.

$$4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Гадиләштерегез.

$$-12x+20y=4,-12x+3y=-30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -12x+3y=-30'ны -12x+20y=4'нан алыгыз.

$$-12x+12x+20y-3y=4+30$$

-12x'ны 12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -12x һәм 12x шартлар кыскартылган.

$$20y-3y=4+30$$

20y'ны -3y'га өстәгез.

$$17y=4+30$$

4'ны 30'га өстәгез.

$$17y=34$$

Ике якны 17-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 4x-y=10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-2=10$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$4x=12$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=2$$