{l}{-2x+3y=9}{7x-9y=-31} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$-2x+3y=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$-2x=-3y+9$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

-\frac{1}{2}'ны -3y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-9+3y}{2} куегыз, 7x-9y=-31.

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31$$

7'ны \frac{-9+3y}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31$$

\frac{21y}{2}'ны -9y'га өстәгез.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{63}{2} өстәгез.

$$\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{3}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}'ны y өчен x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{3}{2}'ны \frac{1}{3} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{9}{2}'ны \frac{1}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

-2x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га тапкырлагыз.

$$7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)$$

Гадиләштерегез.

$$-14x+21y=63,-14x+18y=62$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -14x+18y=62'ны -14x+21y=63'нан алыгыз.

$$-14x+14x+21y-18y=63-62$$

-14x'ны 14x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -14x һәм 14x шартлар кыскартылган.

$$21y-18y=63-62$$

21y'ны -18y'га өстәгез.

$$3y=63-62$$

63'ны -62'га өстәгез.

$$3y=1$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}'ны y өчен 7x-9y=-31'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x-9\times \frac{1}{3}=-31$$

-9'ны \frac{1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$7x-3=-31$$

Тигезләмәнең ике ягына 3 өстәгез.

$$7x=-28$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=-4$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$