{l}{x/4+y/3=7}{2/3x+y/2=14} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=12$$

$$y=12$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{y}{3} алыгыз.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7$$

Ике якны 4-га тапкырлагыз.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)$$

4'ны -\frac{y}{3}+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{3}y+28$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{4y}{3}+28 куегыз, \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14.

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14$$

\frac{2}{3}'ны -\frac{4y}{3}+28 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14$$

-\frac{8y}{9}'ны \frac{y}{2}'га өстәгез.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{56}{3} алыгыз.

$$-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{18} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=12$$

12'ны y өчен x=-\frac{4}{3}y+28'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\times 12+28$$

-\frac{4}{3}'ны 12 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-16+28$$

28'ны -16'га өстәгез.

$$x=12$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=12,y=12$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=12,y=12$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

\frac{x}{4} һәм \frac{2x}{3} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{2}{3}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{4}'га тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}'ны \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3}'нан алыгыз.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

\frac{x}{6}'ны -\frac{x}{6}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{x}{6} һәм -\frac{x}{6} шартлар кыскартылган.

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

\frac{2y}{9}'ны -\frac{y}{8}'га өстәгез.

$$\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{14}{3}'ны -\frac{7}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{72} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=12$$

12'ны y өчен \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14$$

\frac{1}{2}'ны 12 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}x+6=14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$\frac{2}{3}x=8$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{2}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=12$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=12,y=12$$