{l}{x/3+y/4=2x-y/2-2-2y/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 x - y } { 2 } - \frac { 2 - 2 y } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 3,4,2,6'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

6 2x-y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

-2 2-2y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

-2y алу өчен, -6y һәм 4y берләштерегз.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

12x'ны ике яктан алыгыз.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

-8x алу өчен, 4x һәм -12x берләштерегз.

$$-8x+3y=-2y-4$$

Ике як өчен 2y өстәгез.

$$-8x+3y+2y=-4$$

5y алу өчен, 3y һәм 2y берләштерегз.

$$-8x+5y=-4$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 20-га, 5,2,4,10'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 2x+y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 y-2'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y алу өчен, 4y һәм -10y берләштерегз.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 x+y-3'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 y-x-1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y алу өчен, 5y һәм -2y берләштерегз.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x алу өчен, 5x һәм 2x берләштерегз.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 алу өчен, -15 һәм 2 өстәгез.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

7x'ны ике яктан алыгыз.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x алу өчен, 8x һәм -7x берләштерегз.

$$x-6y+20=3y-13$$

3y'ны ике яктан алыгыз.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y алу өчен, -6y һәм -3y берләштерегз.

$$x-9y+20=-13$$

20'ны ике яктан алыгыз.

$$x-9y=-13-20$$

-33 алу өчен, -13 20'нан алыгыз.

$$x-9y=-33$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$-8x+5y=-4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$-8x=-5y-4$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-5y-4\right)$$

-\frac{1}{8}'ны -5y-4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y}{8}+\frac{1}{2} куегыз, x-9y=-33.

$$\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}-9y=-33$$

\frac{5y}{8}'ны -9y'га өстәгез.

$$-\frac{67}{8}y+\frac{1}{2}=-33$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{2} алыгыз.

$$-\frac{67}{8}y=-\frac{67}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{67}{8} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{8}\times 4+\frac{1}{2}$$

\frac{5}{8}'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{2}'ны \frac{5}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=4$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 3,4,2,6'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

6 2x-y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

-2 2-2y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

-2y алу өчен, -6y һәм 4y берләштерегз.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

12x'ны ике яктан алыгыз.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

-8x алу өчен, 4x һәм -12x берләштерегз.

$$-8x+3y=-2y-4$$

Ике як өчен 2y өстәгез.

$$-8x+3y+2y=-4$$

5y алу өчен, 3y һәм 2y берләштерегз.

$$-8x+5y=-4$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 20-га, 5,2,4,10'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 2x+y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 y-2'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y алу өчен, 4y һәм -10y берләштерегз.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 x+y-3'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 y-x-1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y алу өчен, 5y һәм -2y берләштерегз.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x алу өчен, 5x һәм 2x берләштерегз.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 алу өчен, -15 һәм 2 өстәгез.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

7x'ны ике яктан алыгыз.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x алу өчен, 8x һәм -7x берләштерегз.

$$x-6y+20=3y-13$$

3y'ны ике яктан алыгыз.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y алу өчен, -6y һәм -3y берләштерегз.

$$x-9y+20=-13$$

20'ны ике яктан алыгыз.

$$x-9y=-13-20$$

-33 алу өчен, -13 20'нан алыгыз.

$$x-9y=-33$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{5}{-8\left(-9\right)-5}\\-\frac{1}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}&-\frac{5}{67}\\-\frac{1}{67}&-\frac{8}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}\left(-4\right)-\frac{5}{67}\left(-33\right)\\-\frac{1}{67}\left(-4\right)-\frac{8}{67}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=4$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 3,4,2,6'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

6 2x-y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

-2 2-2y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

-2y алу өчен, -6y һәм 4y берләштерегз.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

12x'ны ике яктан алыгыз.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

-8x алу өчен, 4x һәм -12x берләштерегз.

$$-8x+3y=-2y-4$$

Ике як өчен 2y өстәгез.

$$-8x+3y+2y=-4$$

5y алу өчен, 3y һәм 2y берләштерегз.

$$-8x+5y=-4$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 20-га, 5,2,4,10'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 2x+y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 y-2'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y алу өчен, 4y һәм -10y берләштерегз.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 x+y-3'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 y-x-1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y алу өчен, 5y һәм -2y берләштерегз.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x алу өчен, 5x һәм 2x берләштерегз.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13 алу өчен, -15 һәм 2 өстәгез.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

7x'ны ике яктан алыгыз.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x алу өчен, 8x һәм -7x берләштерегз.

$$x-6y+20=3y-13$$

3y'ны ике яктан алыгыз.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y алу өчен, -6y һәм -3y берләштерегз.

$$x-9y+20=-13$$

20'ны ике яктан алыгыз.

$$x-9y=-13-20$$

-33 алу өчен, -13 20'нан алыгыз.

$$x-9y=-33$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

-8x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -8'га тапкырлагыз.

$$-8x+5y=-4,-8x-8\left(-9\right)y=-8\left(-33\right)$$

Гадиләштерегез.

$$-8x+5y=-4,-8x+72y=264$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -8x+72y=264'ны -8x+5y=-4'нан алыгыз.

$$-8x+8x+5y-72y=-4-264$$

-8x'ны 8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -8x һәм 8x шартлар кыскартылган.

$$5y-72y=-4-264$$

5y'ны -72y'га өстәгез.

$$-67y=-4-264$$

-4'ны -264'га өстәгез.

$$-67y=-268$$

Ике якны -67-га бүлегез.

$$y=4$$

4'ны y өчен x-9y=-33'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-9\times 4=-33$$

-9'ны 4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x-36=-33$$

Тигезләмәнең ике ягына 36 өстәгез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=4$$