{l}{3/2x+1/3y=1}{x/4-1/6y=-frac{3}{2}} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{y}{3} алыгыз.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{3}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

\frac{2}{3}'ны -\frac{y}{3}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3} куегыз, \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{4}'ны -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

-\frac{y}{18}'ны -\frac{y}{6}'га өстәгез.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{1}{6} алыгыз.

$$-\frac{2}{9}y=-\frac{5}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{2}{9} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{15}{2}$$

\frac{15}{2}'ны y өчен x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{15}{2}+\frac{2}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{9}'ны \frac{15}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{2}{3}'ны -\frac{5}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{4}-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

\frac{3x}{2} һәм \frac{x}{4} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{4}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{3}{2}'га тапкырлагыз.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}'ны \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4}'нан алыгыз.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

\frac{3x}{8}'ны -\frac{3x}{8}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{3x}{8} һәм -\frac{3x}{8} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

\frac{y}{12}'ны \frac{y}{4}'га өстәгез.

$$\frac{1}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{4}'ны \frac{9}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$\frac{1}{3}y=\frac{5}{2}$$

Ике якны 3-га тапкырлагыз.

$$y=\frac{15}{2}$$

\frac{15}{2}'ны y өчен \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times \frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{1}{6}'ны \frac{15}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5}{4} өстәгез.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Ике якны 4-га тапкырлагыз.

$$x=-1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$