{l}{2/3x+1/2y=5}{x-3y=6.} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { x - 3 y = 6 . } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5} = 7.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{y}{2} алыгыз.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+5$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{2}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+5\right)$$

\frac{3}{2}'ны -\frac{y}{2}+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{4}+\frac{15}{2} куегыз, x-3y=6.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-3y=6$$

-\frac{3y}{4}'ны -3y'га өстәгез.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{2} алыгыз.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{3}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{15}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{2}{5}$$

\frac{2}{5}'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{15}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{4}'ны \frac{2}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{15}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{15}{2}'ны -\frac{3}{10}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{36}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{4}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

\frac{2x}{3} һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{2}{3}'га тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(-3\right)y=\frac{2}{3}\times 6$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x-2y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{2}{3}x-2y=4'ны \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5'нан алыгыз.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

\frac{2x}{3}'ны -\frac{2x}{3}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{2x}{3} һәм -\frac{2x}{3} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

\frac{y}{2}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{5}{2}y=5-4$$

5'ны -4'га өстәгез.

$$\frac{5}{2}y=1$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{5}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{2}{5}$$

\frac{2}{5}'ны y өчен x-3y=6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x-3\times \frac{2}{5}=6$$

-3'ны \frac{2}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$x-\frac{6}{5}=6$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{6}{5} өстәгез.

$$x=\frac{36}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$