{c}{5x-y=5}{3y-2x=11} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = 5 } \\ { 3 y - 2 x = 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$5x=y+5$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{5}'ны y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{y}{5}+1 куегыз, -2x+3y=11.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+1\right)+3y=11$$

-2'ны \frac{y}{5}+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{5}y-2+3y=11$$

-\frac{2y}{5}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{13}{5}y-2=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$\frac{13}{5}y=13$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{13}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=\frac{1}{5}y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\times 5+1$$

\frac{1}{5}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=1+1$$

1'ны 1'га өстәгез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 5+\frac{1}{13}\times 11\\\frac{2}{13}\times 5+\frac{5}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-y=5,-2x+3y=11$$

5x һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 5,5\left(-2\right)x+5\times 3y=5\times 11$$

Гадиләштерегез.

$$-10x+2y=-10,-10x+15y=55$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -10x+15y=55'ны -10x+2y=-10'нан алыгыз.

$$-10x+10x+2y-15y=-10-55$$

-10x'ны 10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -10x һәм 10x шартлар кыскартылган.

$$2y-15y=-10-55$$

2y'ны -15y'га өстәгез.

$$-13y=-10-55$$

-10'ны -55'га өстәгез.

$$-13y=-65$$

Ике якны -13-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен -2x+3y=11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x+3\times 5=11$$

3'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-2x+15=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-2x=-4$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=5$$