{c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x өчен чишелеш

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$2y+5x=12$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5x алыгыз.

$$2y=-5x+12$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

\frac{1}{2}'ны -5x+12 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Башка тигезләмәдә y урынына -\frac{5x}{2}+6 куегыз, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-6'ны -\frac{5x}{2}+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$15x-36-2x=-24$$

15x'ны -2x'га өстәгез.

$$13x-36=-24$$

Тигезләмәнең ике ягына 36 өстәгез.

$$13x=12$$

Ике якны 13-га бүлегез.

$$x=\frac{12}{13}$$

\frac{12}{13}'ны x өчен y=-\frac{5}{2}x+6'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{5}{2}'ны \frac{12}{13} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

6'ны -\frac{30}{13}'га өстәгез.

$$y=\frac{48}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

y һәм x матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y һәм -6y тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -6'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га тапкырлагыз.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Гадиләштерегез.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -12y-4x=-48'ны -12y-30x=-72'нан алыгыз.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

-12y'ны 12y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -12y һәм 12y шартлар кыскартылган.

$$-30x+4x=-72+48$$

-30x'ны 4x'га өстәгез.

$$-26x=-72+48$$

-72'ны 48'га өстәгез.

$$-26x=-24$$

Ике якны -26-га бүлегез.

$$x=\frac{12}{13}$$

\frac{12}{13}'ны x өчен -6y-2x=-24'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

-2'ны \frac{12}{13} тапкыр тапкырлагыз.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{24}{13} өстәгез.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Ике якны -6-га бүлегез.

$$y=\frac{48}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$