z^3+3z^2+4z-8=0 పరిష్కరించండి

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

zని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

పరిష్కారం దశలు

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -8ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±8,±4,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$z=1$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, z-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. z^{3}+3z^{2}+4z-8ని z-1తో భాగించి z^{2}+4z+8ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$z^{2}+4z+8=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 4 స్థానంలో b 8 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం z^{2}+4z+8=0ని పరిష్కరించండి.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

కనుగొన్న అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

zని పరిష్కరించండి

$$z=1$$

పరిష్కారం దశలు

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -8ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±8,±4,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$z=1$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, z-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. z^{3}+3z^{2}+4z-8ని z-1తో భాగించి z^{2}+4z+8ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$z^{2}+4z+8=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 4 స్థానంలో b 8 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

రియల్ ఫీల్డ్‌లో రుణాత్మక సంఖ్య యొక్క వర్గమూలం నిర్వచించబడలేదు కనుక పరిష్కారాలు లేవు.

$$z\in \emptyset$$

కనుగొన్న అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$z=1$$