y-3x=2text{and}7x-2y=8 పరిష్కరించండి

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=12$$

$$y=38$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-3x=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3xని కూడండి.

$$y=3x+2$$

మరొక సమీకరణములో yను 3x+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

-2 సార్లు 3x+2ని గుణించండి.

$$-6x-4+7x=8$$

7xకు -6xని కూడండి.

$$x-4=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$x=12$$

y=3x+2లో xను 12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=3\times 12+2$$

3 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$y=36+2$$

36కు 2ని కూడండి.

$$y=38$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=38,x=12$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=38,x=12$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

y మరియు -2yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2y+7x=8ని -2y+6x=-4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

2yకు -2yని కూడండి. -2y మరియు 2y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6x-7x=-4-8$$

-7xకు 6xని కూడండి.

$$-x=-4-8$$

-8కు -4ని కూడండి.

$$-x=-12$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=12$$

-2y+7x=8లో xను 12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2y+7\times 12=8$$

7 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$-2y+84=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 84ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y=-76$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=38$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=38,x=12$$