x^4-x^2-12 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - 12$$

లబ్ధమూలము

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

పరిష్కారం దశలు

ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{4}-x^{2}-12=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -12ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=2$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{4}-x^{2}-12ని x-2తో భాగించి x^{3}+2x^{2}+3x+6ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{3}+2x^{2}+3x+6=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 6ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±6,±3,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-2$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{3}+2x^{2}+3x+6ని x+2తో భాగించి x^{2}+3ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{2}+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 0 స్థానంలో b 3 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

పాలీనామియల్ x^{2}+3లో రేషనల్ రూట్‌లు లేవు కనుక దీనిని ఫ్యాక్టర్ చేయలేరు.

$$x^{2}+3$$

పొందిన రూట్‌లను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$x^{4}-x^{2}-12$$