x^2-16x-192=0 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } - 16 x - 192 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-8$$

$$x=24$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}-16x-192ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-16 ab=-192$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -192ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-192 2,-96 3,-64 4,-48 6,-32 8,-24 12,-16$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-192=-191 2-96=-94 3-64=-61 4-48=-44 6-32=-26 8-24=-16 12-16=-4$$

సమ్ -16ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-24 b=8$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-24\right)\left(x+8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-24=0 మరియు x+8=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=24 x=-8$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-192 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-16 ab=1\left(-192\right)=-192$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -192ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-192 2,-96 3,-64 4,-48 6,-32 8,-24 12,-16$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-192=-191 2-96=-94 3-64=-61 4-48=-44 6-32=-26 8-24=-16 12-16=-4$$

సమ్ -16ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-24 b=8$$

\left(x^{2}-24x\right)+\left(8x-192\right)ని x^{2}-16x-192 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-24x\right)+\left(8x-192\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 8 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-24\right)+8\left(x-24\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-24ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-24\right)\left(x+8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-24=0 మరియు x+8=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=24 x=-8$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}-16x-192=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -16 మరియు c స్థానంలో -192 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\left(-192\right)}}{2}$$

-16 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\left(-192\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -192ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+768}}{2}$$

768కు 256ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{1024}}{2}$$

1024 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±32}{2}$$

-16 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 16.

$$x=\frac{16±32}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{16±32}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 32కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{2}$$

2తో 48ని భాగించండి.

$$x=24$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{16±32}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 32ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{16}{2}$$

2తో -16ని భాగించండి.

$$x=-8$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=24 x=-8$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}-16x-192=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 192ని కూడండి.

$$x^{2}-16x-192-\left(-192\right)=-\left(-192\right)$$

-192ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}-16x=-\left(-192\right)$$

-192ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-16x=192$$

x రాశి యొక్క గుణకము -16ని 2తో భాగించి -8ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -8 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=192+\left(-8\right)^{2}$$

-8 వర్గము.

$$x^{2}-16x+64=192+64$$

64కు 192ని కూడండి.

$$x^{2}-16x+64=256$$

కారకం x^{2}-16x+64. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-8\right)^{2}=256$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{256}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-8=16 x-8=-16$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$x=24 x=-8$$