x^2-13x+42=0 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$x=7$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}-13x+42ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-13 ab=42$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 42ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

సమ్ -13ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-7 b=-6$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-7=0 మరియు x-6=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=7 x=6$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx+42 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 42ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

సమ్ -13ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-7 b=-6$$

\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)ని x^{2}-13x+42 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో -6 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-7=0 మరియు x-6=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=7 x=6$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}-13x+42=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -13 మరియు c స్థానంలో 42 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

-13 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

-4 సార్లు 42ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

-168కు 169ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

1 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{13±1}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1కు 13ని కూడండి.

$$x=\frac{14}{2}$$

2తో 14ని భాగించండి.

$$x=7$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{13±1}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1ని 13 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{12}{2}$$

2తో 12ని భాగించండి.

$$x=6$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=7 x=6$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}-13x+42=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 42ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

42ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}-13x=-42$$

x రాశి యొక్క గుణకము -13ని 2తో భాగించి -\frac{13}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{13}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{13}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

\frac{169}{4}కు -42ని కూడండి.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

x^{2}-13x+\frac{169}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{2}ని కూడండి.

$$x=7 x=6$$