x^2+31x-360=0 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-40$$

$$x=9$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}+31x-360ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=31 ab=-360$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -360ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

సమ్ 31ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=40$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-9=0 మరియు x+40=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=9 x=-40$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-360 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -360ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

సమ్ 31ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=40$$

\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)ని x^{2}+31x-360 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 40 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-9ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-9=0 మరియు x+40=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=9 x=-40$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}+31x-360=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 31 మరియు c స్థానంలో -360 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

31 వర్గము.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -360ని గుణించండి.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

1440కు 961ని కూడండి.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

2401 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-31±49}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 49కు -31ని కూడండి.

$$x=\frac{18}{2}$$

2తో 18ని భాగించండి.

$$x=9$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-31±49}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 49ని -31 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{80}{2}$$

2తో -80ని భాగించండి.

$$x=-40$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=9 x=-40$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}+31x-360=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 360ని కూడండి.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

-360ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

-360ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+31x=360$$

x రాశి యొక్క గుణకము 31ని 2తో భాగించి \frac{31}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{31}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{31}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

\frac{961}{4}కు 360ని కూడండి.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

x^{2}+31x+\frac{961}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{31}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=9 x=-40$$