x^2+30x-18000=0 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } + 30 x - 18000 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-150$$

$$x=120$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}+30x-18000ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=30 ab=-18000$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -18000ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

సమ్ 30ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-120 b=150$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-120=0 మరియు x+150=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=120 x=-150$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-18000 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=30 ab=1\left(-18000\right)=-18000$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -18000ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,18000 -2,9000 -3,6000 -4,4500 -5,3600 -6,3000 -8,2250 -9,2000 -10,1800 -12,1500 -15,1200 -16,1125 -18,1000 -20,900 -24,750 -25,720 -30,600 -36,500 -40,450 -45,400 -48,375 -50,360 -60,300 -72,250 -75,240 -80,225 -90,200 -100,180 -120,150 -125,144$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+18000=17999 -2+9000=8998 -3+6000=5997 -4+4500=4496 -5+3600=3595 -6+3000=2994 -8+2250=2242 -9+2000=1991 -10+1800=1790 -12+1500=1488 -15+1200=1185 -16+1125=1109 -18+1000=982 -20+900=880 -24+750=726 -25+720=695 -30+600=570 -36+500=464 -40+450=410 -45+400=355 -48+375=327 -50+360=310 -60+300=240 -72+250=178 -75+240=165 -80+225=145 -90+200=110 -100+180=80 -120+150=30 -125+144=19$$

సమ్ 30ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-120 b=150$$

\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)ని x^{2}+30x-18000 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-120x\right)+\left(150x-18000\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 150 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-120\right)+150\left(x-120\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-120ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-120\right)\left(x+150\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-120=0 మరియు x+150=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=120 x=-150$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 30 మరియు c స్థానంలో -18000 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-18000\right)}}{2}$$

30 వర్గము.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-18000\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -18000ని గుణించండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+72000}}{2}$$

72000కు 900ని కూడండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{72900}}{2}$$

72900 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-30±270}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-30±270}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 270కు -30ని కూడండి.

$$x=\frac{240}{2}$$

2తో 240ని భాగించండి.

$$x=120$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-30±270}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 270ని -30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{300}{2}$$

2తో -300ని భాగించండి.

$$x=-150$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=120 x=-150$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}+30x-18000=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 18000ని కూడండి.

$$x^{2}+30x-18000-\left(-18000\right)=-\left(-18000\right)$$

-18000ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}+30x=-\left(-18000\right)$$

-18000ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+30x=18000$$

x రాశి యొక్క గుణకము 30ని 2తో భాగించి 15ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 15 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+30x+15^{2}=18000+15^{2}$$

15 వర్గము.

$$x^{2}+30x+225=18000+225$$

225కు 18000ని కూడండి.

$$x^{2}+30x+225=18225$$

x^{2}+30x+225 లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x+15\right)^{2}=18225$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+15\right)^{2}}=\sqrt{18225}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+15=135 x+15=-135$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=120 x=-150$$