x^2+3x-20/x^2+3x=8 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

పరిష్కారం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా x\left(x+3\right)తో గుణించండి.

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

x+3తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

x^{2}తో x^{2}+3xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

x^{2}ని పొందడం కోసం x మరియు xని గుణించండి.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

x+3తో 3x^{2}ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

6x^{3}ని పొందడం కోసం 3x^{3} మరియు 3x^{3}ని జత చేయండి.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

x+3తో 8xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

రెండు భాగాల నుండి 8x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

x^{2}ని పొందడం కోసం 9x^{2} మరియు -8x^{2}ని జత చేయండి.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

రెండు భాగాల నుండి 24xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం సమీకరణమును సర్దుబాటు చేయండి. విలువలను ఎక్కువ నుండి తక్కువ ఘాతం క్రమంలో ఏర్పాటు చేయండి.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -20ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-1$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20ని x+1తో భాగించి x^{3}+5x^{2}-4x-20ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -20ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=2$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{3}+5x^{2}-4x-20ని x-2తో భాగించి x^{2}+7x+10ని పొందండి. ఫలితం మరియు 0 సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{2}+7x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 7 స్థానంలో b 10 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం x^{2}+7x+10=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-5 x=-2$$

కనుగొన్న అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$