x^2+16x-512=0 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-32$$

$$x=16$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి x^{2}+16x-512ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=16 ab=-512$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -512ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

సమ్ 16ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-16 b=32$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(x+a\right)\left(x+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-16=0 మరియు x+32=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=16 x=-32$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును x^{2}+ax+bx-512 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -512ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

సమ్ 16ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-16 b=32$$

\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)ని x^{2}+16x-512 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 32 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-16ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-16=0 మరియు x+32=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=16 x=-32$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$x^{2}+16x-512=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 16 మరియు c స్థానంలో -512 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

16 వర్గము.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -512ని గుణించండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

2048కు 256ని కూడండి.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

2304 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-16±48}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 48కు -16ని కూడండి.

$$x=\frac{32}{2}$$

2తో 32ని భాగించండి.

$$x=16$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-16±48}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 48ని -16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{64}{2}$$

2తో -64ని భాగించండి.

$$x=-32$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=16 x=-32$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$x^{2}+16x-512=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 512ని కూడండి.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

-512ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

-512ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}+16x=512$$

x రాశి యొక్క గుణకము 16ని 2తో భాగించి 8ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 8 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

8 వర్గము.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

64కు 512ని కూడండి.

$$x^{2}+16x+64=576$$

కారకం x^{2}+16x+64. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+8=24 x+8=-24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=16 x=-32$$