x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2 పరిష్కరించండి

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(x^{2}-2x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ఒక సంఖ్య యొక్క ఘాతముని మరొక ఘాతముతో హెచ్చించడం కోసం ఘాతాంకాలను గుణించండి. 2 మరియు 2ని గుణించి 4 పొందండి.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ఒకే పీఠము యొక్క ఘాతములను భాగించడం కోసం, వాటి ఘాతాంకములను జోడించండి. 2కి 1ని జోడించి 3 పొందండి.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

5x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 4x^{2}ని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

11ని పొందడం కోసం 10 మరియు 1ని కూడండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3 వర్గము.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

-x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -2x^{2}ని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

14xని పొందడం కోసం 2x మరియు 12xని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

20ని పొందడం కోసం 11 మరియు 9ని కూడండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

6x^{2}ని పొందడం కోసం 5x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి 14xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

0ని పొందడం కోసం x^{4} మరియు -x^{4}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

రెండు వైపులా 4x^{3}ని జోడించండి.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

0ని పొందడం కోసం -4x^{3} మరియు 4x^{3}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 3x^{2}+ax+bx-10 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -30ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

సమ్ -7ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-10 b=3$$

\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)ని 3x^{2}-7x-10 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

3x^{2}-10xలో xని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-10ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-10=0 మరియు x+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(x^{2}-2x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ఒక సంఖ్య యొక్క ఘాతముని మరొక ఘాతముతో హెచ్చించడం కోసం ఘాతాంకాలను గుణించండి. 2 మరియు 2ని గుణించి 4 పొందండి.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ఒకే పీఠము యొక్క ఘాతములను భాగించడం కోసం, వాటి ఘాతాంకములను జోడించండి. 2కి 1ని జోడించి 3 పొందండి.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

5x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 4x^{2}ని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

11ని పొందడం కోసం 10 మరియు 1ని కూడండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3 వర్గము.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

-x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -2x^{2}ని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

14xని పొందడం కోసం 2x మరియు 12xని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

20ని పొందడం కోసం 11 మరియు 9ని కూడండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

6x^{2}ని పొందడం కోసం 5x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి 14xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

0ని పొందడం కోసం x^{4} మరియు -x^{4}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

రెండు వైపులా 4x^{3}ని జోడించండి.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

0ని పొందడం కోసం -4x^{3} మరియు 4x^{3}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 6, b స్థానంలో -14 మరియు c స్థానంలో -20 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-14 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-4 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

-24 సార్లు -20ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

480కు 196ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

676 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

-14 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

2 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{14±26}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 26కు 14ని కూడండి.

$$x=\frac{40}{12}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{40}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{10}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{14±26}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 26ని 14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{12}$$

12తో -12ని భాగించండి.

$$x=-1$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(x^{2}-2x\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ఒక సంఖ్య యొక్క ఘాతముని మరొక ఘాతముతో హెచ్చించడం కోసం ఘాతాంకాలను గుణించండి. 2 మరియు 2ని గుణించి 4 పొందండి.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ఒకే పీఠము యొక్క ఘాతములను భాగించడం కోసం, వాటి ఘాతాంకములను జోడించండి. 2కి 1ని జోడించి 3 పొందండి.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

5x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు 4x^{2}ని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

11ని పొందడం కోసం 10 మరియు 1ని కూడండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

x^{2}-2x-3 వర్గము.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

-x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు -2x^{2}ని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

14xని పొందడం కోసం 2x మరియు 12xని జత చేయండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

20ని పొందడం కోసం 11 మరియు 9ని కూడండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

6x^{2}ని పొందడం కోసం 5x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి 14xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

0ని పొందడం కోసం x^{4} మరియు -x^{4}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

రెండు వైపులా 4x^{3}ని జోడించండి.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

0ని పొందడం కోసం -4x^{3} మరియు 4x^{3}ని జత చేయండి.

$$6x^{2}-14x=20$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

6తో భాగించడం ద్వారా 6 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-14}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{20}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{7}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{7}{6}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{7}{6} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{7}{6}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{49}{36}కు \frac{10}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

కారకం x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{6}ని కూడండి.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$