x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2 పరిష్కరించండి

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

15xని పొందడం కోసం 6x మరియు 9xని జత చేయండి.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

x-2తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

13xని పొందడం కోసం 15x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

7ని పొందడం కోసం 3 మరియు 4ని కూడండి.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

రెండు భాగాల నుండి 6x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

రెండు వైపులా 12ని జోడించండి.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

19ని పొందడం కోసం 7 మరియు 12ని కూడండి.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -6x^{2}+ax+bx+19 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -114ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

సమ్ 13ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=19 b=-6$$

\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)ని -6x^{2}+13x+19 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 6x-19ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 6x-19=0 మరియు -x-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

15xని పొందడం కోసం 6x మరియు 9xని జత చేయండి.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

x-2తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

13xని పొందడం కోసం 15x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

7ని పొందడం కోసం 3 మరియు 4ని కూడండి.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

రెండు భాగాల నుండి 6x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

రెండు వైపులా 12ని జోడించండి.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

19ని పొందడం కోసం 7 మరియు 12ని కూడండి.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -6, b స్థానంలో 13 మరియు c స్థానంలో 19 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

13 వర్గము.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

-4 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

24 సార్లు 19ని గుణించండి.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

456కు 169ని కూడండి.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

625 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

2 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-13±25}{-12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 25కు -13ని కూడండి.

$$x=\frac{12}{-12}$$

-12తో 12ని భాగించండి.

$$x=-1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-13±25}{-12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 25ని -13 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-38}{-12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{19}{6}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

3x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

15xని పొందడం కోసం 6x మరియు 9xని జత చేయండి.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

x-2తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

13xని పొందడం కోసం 15x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

7ని పొందడం కోసం 3 మరియు 4ని కూడండి.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

రెండు భాగాల నుండి 6x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

రెండు భాగాల నుండి 7ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

-19ని పొందడం కోసం 7ని -12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$13x-6x^{2}=-19$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

-6తో భాగించడం ద్వారా -6 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

-6తో 13ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

-6తో -19ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{13}{6}ని 2తో భాగించి -\frac{13}{12}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{13}{12} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{13}{12}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{169}{144}కు \frac{19}{6}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{12}ని కూడండి.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$