t^2-24t-180=0 పరిష్కరించండి

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

tని పరిష్కరించండి

$$t=-6$$

$$t=30$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి t^{2}-24t-180ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-24 ab=-180$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -180ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

సమ్ -24ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-30 b=6$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(t+a\right)\left(t+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t-30=0 మరియు t+6=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=30 t=-6$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును t^{2}+at+bt-180 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -180ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

సమ్ -24ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-30 b=6$$

\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)ని t^{2}-24t-180 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

మొదటి సమూహంలో t మరియు రెండవ సమూహంలో 6 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ t-30ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t-30=0 మరియు t+6=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=30 t=-6$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$t^{2}-24t-180=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -24 మరియు c స్థానంలో -180 ప్రతిక్షేపించండి.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

-24 వర్గము.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -180ని గుణించండి.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

720కు 576ని కూడండి.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

1296 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

-24 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి t=\frac{24±36}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 36కు 24ని కూడండి.

$$t=\frac{60}{2}$$

2తో 60ని భాగించండి.

$$t=30$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి t=\frac{24±36}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 36ని 24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=-\frac{12}{2}$$

2తో -12ని భాగించండి.

$$t=-6$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$t=30 t=-6$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$t^{2}-24t-180=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 180ని కూడండి.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

-180ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

-180ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t^{2}-24t=180$$

x రాశి యొక్క గుణకము -24ని 2తో భాగించి -12ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -12 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

-12 వర్గము.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

144కు 180ని కూడండి.

$$t^{2}-24t+144=324$$

కారకం t^{2}-24t+144. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$t-12=18 t-12=-18$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$t=30 t=-6$$