t^2+11t+24=0 పరిష్కరించండి

$$t ^ { 2 } + 11 t + 24 = 0$$

tని పరిష్కరించండి

$$t=-8$$

$$t=-3$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి t^{2}+11t+24ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=24$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 24ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=3 b=8$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(t+a\right)\left(t+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(t+3\right)\left(t+8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t+3=0 మరియు t+8=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=-3 t=-8$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును t^{2}+at+bt+24 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 24ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=3 b=8$$

\left(t^{2}+3t\right)+\left(8t+24\right)ని t^{2}+11t+24 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(t^{2}+3t\right)+\left(8t+24\right)$$

మొదటి సమూహంలో t మరియు రెండవ సమూహంలో 8 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$t\left(t+3\right)+8\left(t+3\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ t+3ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(t+3\right)\left(t+8\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, t+3=0 మరియు t+8=0ని పరిష్కరించండి.

$$t=-3 t=-8$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$t^{2}+11t+24=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 11 మరియు c స్థానంలో 24 ప్రతిక్షేపించండి.

$$t=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 24}}{2}$$

11 వర్గము.

$$t=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

-4 సార్లు 24ని గుణించండి.

$$t=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2}$$

-96కు 121ని కూడండి.

$$t=\frac{-11±\sqrt{25}}{2}$$

25 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$t=\frac{-11±5}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి t=\frac{-11±5}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5కు -11ని కూడండి.

$$t=-\frac{6}{2}$$

2తో -6ని భాగించండి.

$$t=-3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి t=\frac{-11±5}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 5ని -11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=-\frac{16}{2}$$

2తో -16ని భాగించండి.

$$t=-8$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$t=-3 t=-8$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$t^{2}+11t+24=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 24ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$t^{2}+11t+24-24=-24$$

24ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$t^{2}+11t=-24$$

x రాశి యొక్క గుణకము 11ని 2తో భాగించి \frac{11}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{11}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$t^{2}+11t+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{11}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$t^{2}+11t+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4}కు -24ని కూడండి.

$$t^{2}+11t+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

కారకం t^{2}+11t+\frac{121}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(t+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(t+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$t+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} t+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{11}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$t=-3 t=-8$$