p^-2+11p^-1-12=0 పరిష్కరించండి

$$p ^ { - 2 } + 11 p ^ { - 1 } - 12 = 0$$

pని పరిష్కరించండి

$$p=1$$

$$p=-\frac{1}{12}\approx -0.083333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ p అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా pతో గుణించండి.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

ఒకే పీఠము యొక్క ఘాతములను భాగించడం కోసం, వాటి ఘాతాంకములను జోడించండి. 1కి -2ని జోడించి -1 పొందండి.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

11ని పొందడం కోసం 11 మరియు 1ని గుణించండి.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ p అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా pతో గుణించండి.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

p^{2}ని పొందడం కోసం p మరియు pని గుణించండి.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -12p^{2}+ap+bp+1 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -12ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=12 b=-1$$

\left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right)ని -12p^{2}+11p+1 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right)$$

-12p^{2}+12pలో 12pని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$12p\left(-p+1\right)-p+1$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -p+1ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-p+1\right)\left(12p+1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -p+1=0 మరియు 12p+1=0ని పరిష్కరించండి.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ p అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా pతో గుణించండి.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

ఒకే పీఠము యొక్క ఘాతములను భాగించడం కోసం, వాటి ఘాతాంకములను జోడించండి. 1కి -2ని జోడించి -1 పొందండి.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

11ని పొందడం కోసం 11 మరియు 1ని గుణించండి.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ p అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా pతో గుణించండి.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

p^{2}ని పొందడం కోసం p మరియు pని గుణించండి.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-12p^{2}+11p+1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -12, b స్థానంలో 11 మరియు c స్థానంలో 1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$p=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

11 వర్గము.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

-4 సార్లు -12ని గుణించండి.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-12\right)}$$

48కు 121ని కూడండి.

$$p=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-12\right)}$$

169 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$p=\frac{-11±13}{2\left(-12\right)}$$

2 సార్లు -12ని గుణించండి.

$$p=\frac{-11±13}{-24}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి p=\frac{-11±13}{-24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13కు -11ని కూడండి.

$$p=\frac{2}{-24}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{2}{-24} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$p=-\frac{1}{12}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి p=\frac{-11±13}{-24} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13ని -11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$p=-\frac{24}{-24}$$

-24తో -24ని భాగించండి.

$$p=1$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$p=-\frac{1}{12} p=1$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

రెండు వైపులా 12ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$p^{-2}+11p^{-1}=12$$

విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=12$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ p అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా pతో గుణించండి.

$$11\times 1+pp^{-2}=12p$$

ఒకే పీఠము యొక్క ఘాతములను భాగించడం కోసం, వాటి ఘాతాంకములను జోడించండి. 1కి -2ని జోడించి -1 పొందండి.

$$11\times 1+p^{-1}=12p$$

11ని పొందడం కోసం 11 మరియు 1ని గుణించండి.

$$11+p^{-1}=12p$$

రెండు భాగాల నుండి 12pని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11+p^{-1}-12p=0$$

రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$p^{-1}-12p=-11$$

విలువలను క్రమాన్ని మార్చండి.

$$-12p+\frac{1}{p}=-11$$

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ p అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా pతో గుణించండి.

$$-12pp+1=-11p$$

p^{2}ని పొందడం కోసం p మరియు pని గుణించండి.

$$-12p^{2}+1=-11p$$

రెండు వైపులా 11pని జోడించండి.

$$-12p^{2}+1+11p=0$$

రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$-12p^{2}+11p=-1$$

రెండు వైపులా -12తో భాగించండి.

$$\frac{-12p^{2}+11p}{-12}=-\frac{1}{-12}$$

-12తో భాగించడం ద్వారా -12 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$p^{2}+\frac{11}{-12}p=-\frac{1}{-12}$$

-12తో 11ని భాగించండి.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=-\frac{1}{-12}$$

-12తో -1ని భాగించండి.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=\frac{1}{12}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{11}{12}ని 2తో భాగించి -\frac{11}{24}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{24} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{1}{12}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{24}ని వర్గము చేయండి.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{1}{12}+\frac{121}{576}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{121}{576}కు \frac{1}{12}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{169}{576}$$

కారకం p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$p-\frac{11}{24}=\frac{13}{24} p-\frac{11}{24}=-\frac{13}{24}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{24}ని కూడండి.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$