n^2-n-210=0 పరిష్కరించండి

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=-14$$

$$n=15$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి n^{2}-n-210ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -210ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

సమ్ -1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=14$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(n+a\right)\left(n+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-15=0 మరియు n+14=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=15 n=-14$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును n^{2}+an+bn-210 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -210ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

సమ్ -1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=14$$

\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)ని n^{2}-n-210 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

మొదటి సమూహంలో n మరియు రెండవ సమూహంలో 14 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ n-15ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-15=0 మరియు n+14=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=15 n=-14$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$n^{2}-n-210=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -1 మరియు c స్థానంలో -210 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -210ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

840కు 1ని కూడండి.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{1±29}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 29కు 1ని కూడండి.

$$n=\frac{30}{2}$$

2తో 30ని భాగించండి.

$$n=15$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{1±29}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 29ని 1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{28}{2}$$

2తో -28ని భాగించండి.

$$n=-14$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=15 n=-14$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$n^{2}-n-210=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 210ని కూడండి.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

-210ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n^{2}-n=210$$

x రాశి యొక్క గుణకము -1ని 2తో భాగించి -\frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}కు 210ని కూడండి.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

కారకం n^{2}-n+\frac{1}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{2}ని కూడండి.

$$n=15 n=-14$$