n^2-11n-60=0 పరిష్కరించండి

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=-4$$

$$n=15$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి n^{2}-11n-60ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -60ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

సమ్ -11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=4$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(n+a\right)\left(n+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-15=0 మరియు n+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=15 n=-4$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును n^{2}+an+bn-60 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -60ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

సమ్ -11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=4$$

\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)ని n^{2}-11n-60 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

మొదటి సమూహంలో n మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ n-15ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-15=0 మరియు n+4=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=15 n=-4$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$n^{2}-11n-60=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో -11 మరియు c స్థానంలో -60 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11 వర్గము.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -60ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240కు 121ని కూడండి.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{11±19}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 19కు 11ని కూడండి.

$$n=\frac{30}{2}$$

2తో 30ని భాగించండి.

$$n=15$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{11±19}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 19ని 11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{8}{2}$$

2తో -8ని భాగించండి.

$$n=-4$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=15 n=-4$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$n^{2}-11n-60=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 60ని కూడండి.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

-60ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n^{2}-11n=60$$

x రాశి యొక్క గుణకము -11ని 2తో భాగించి -\frac{11}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4}కు 60ని కూడండి.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

కారకం n^{2}-11n+\frac{121}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{2}ని కూడండి.

$$n=15 n=-4$$