n^2+n-110=0 పరిష్కరించండి

$$n ^ { 2 } + n - 110 = 0$$

nని పరిష్కరించండి

$$n=-11$$

$$n=10$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి n^{2}+n-110ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=-110$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -110ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,110 -2,55 -5,22 -10,11$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+110=109 -2+55=53 -5+22=17 -10+11=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-10 b=11$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(n+a\right)\left(n+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n-10\right)\left(n+11\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-10=0 మరియు n+11=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=10 n=-11$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును n^{2}+an+bn-110 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=1 ab=1\left(-110\right)=-110$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -110ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,110 -2,55 -5,22 -10,11$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+110=109 -2+55=53 -5+22=17 -10+11=1$$

సమ్ 1ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-10 b=11$$

\left(n^{2}-10n\right)+\left(11n-110\right)ని n^{2}+n-110 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(n^{2}-10n\right)+\left(11n-110\right)$$

మొదటి సమూహంలో n మరియు రెండవ సమూహంలో 11 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$n\left(n-10\right)+11\left(n-10\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ n-10ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(n-10\right)\left(n+11\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, n-10=0 మరియు n+11=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=10 n=-11$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$n^{2}+n-110=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 1 మరియు c స్థానంలో -110 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-110\right)}}{2}$$

1 వర్గము.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-110\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -110ని గుణించండి.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+440}}{2}$$

440కు 1ని కూడండి.

$$n=\frac{-1±\sqrt{441}}{2}$$

441 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-1±21}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{-1±21}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21కు -1ని కూడండి.

$$n=\frac{20}{2}$$

2తో 20ని భాగించండి.

$$n=10$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{-1±21}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21ని -1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=-\frac{22}{2}$$

2తో -22ని భాగించండి.

$$n=-11$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=10 n=-11$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$n^{2}+n-110=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 110ని కూడండి.

$$n^{2}+n-110-\left(-110\right)=-\left(-110\right)$$

-110ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$n^{2}+n=-\left(-110\right)$$

-110ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n^{2}+n=110$$

x రాశి యొక్క గుణకము 1ని 2తో భాగించి \frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=110+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=110+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}కు 110ని కూడండి.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{441}{4}$$

కారకం n^{2}+n+\frac{1}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{21}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=10 n=-11$$