f(x)=x^4-29x^2+100 పరిష్కరించండి

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

లబ్ధమూలము

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

పరిష్కారం దశలు

ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ 100ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=2$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{4}-29x^{2}+100ని x-2తో భాగించి x^{3}+2x^{2}-25x-50ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

పరిమేయ మూల సిద్ధాంతం ప్రకారం, పాలీనామియల్ యొక్క అన్ని రేషనల్ రూట్‌లు రూపంలో \frac{p}{q} ఉండాలి, ఇందులో p అనేది కాన్‌స్టంట్ టర్మ్ -50ని భాగిస్తుంది మరియు q అనేది లీడింగ్ కోఎఫిషియంట్ 1ని భాగిస్తుంది. మొత్తం క్యాండిడేట్‌లను \frac{p}{q} జాబితా చేయండి.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

అత్యంత చిన్న విలువ నుండి ఖచ్చితమైన విలువ వరకు, అన్ని పూర్ణాంకం విలువలను ప్రయత్నించడం ద్వారా అటువంటి ఒక రూట్‌ను కనుగొనండి. పూర్ణాంకం రూట్‌లు కనుగొనబడకుంటే, ఫ్రాక్షన్‌లను ప్రయత్నించండి.

$$x=-2$$

ఫ్యాక్టర్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, x-k అనేది ప్రతి రూట్ k యొక్క పాలీనామియల్‌కు ఒక ఫ్యాక్టర్. x^{3}+2x^{2}-25x-50ని x+2తో భాగించి x^{2}-25ని పొందండి. ఫలితాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం కోసం, 0కి ఎక్స్‌ప్రెషన్ సమానంగా ఉన్నప్పుడు ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను పరిష్కరించండి.

$$x^{2}-25=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ఫారమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలను దిగువ క్వాడ్రాటిక్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. క్వాడ్రాటిక్ సూత్రంలో 1 స్థానంలో a, 0 స్థానంలో b -25 స్థానంలో c ఉంచండి.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

లెక్కలు చేయండి.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

± ప్లస్ మరియు ± మైనస్ అయినప్పుడు సమీకరణం x^{2}-25=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-5 x=5$$

పొందిన రూట్‌లను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ని తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$x^{4}-29x^{2}+100$$