9y^2-12y+2=0 పరిష్కరించండి

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

yని పరిష్కరించండి

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9, b స్థానంలో -12 మరియు c స్థానంలో 2 ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-12 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

-72కు 144ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

72 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6\sqrt{2}కు 12ని కూడండి.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

18తో 12+6\sqrt{2}ని భాగించండి.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 6\sqrt{2}ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

18తో 12-6\sqrt{2}ని భాగించండి.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

2ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9y^{2}-12y=-2$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

9తో భాగించడం ద్వారా 9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-12}{9} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{4}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{2}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{2}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{2}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{4}{9}కు -\frac{2}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

కారకం y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{3}ని కూడండి.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$