9y^2-104y-48 పరిష్కరించండి

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

లబ్ధమూలము

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

పరిష్కారం దశలు

గ్రూప్ చేయడం ద్వారా సమీకరణాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, సమీకరణాన్ని 9y^{2}+ay+by-48 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -432ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

సమ్ -104ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-108 b=4$$

\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)ని 9y^{2}-104y-48 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

మొదటి సమూహంలో 9y మరియు రెండవ సమూహంలో 4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ y-12ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) పరివర్తనం ఉపయోగించి క్వాడ్రాటిక్ పాలీనామియల్‌ ఏర్పడవచ్చు, ఇక్కడ x_{1} మరియు x_{2} అనేవి వర్గ సమీకరణం ax^{2}+bx+c=0 సాధనలు.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

-104 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు -48ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

1728కు 10816ని కూడండి.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

12544 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

-104 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{104±112}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 112కు 104ని కూడండి.

$$y=\frac{216}{18}$$

18తో 216ని భాగించండి.

$$y=12$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{104±112}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 112ని 104 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{8}{18}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-8}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$y=-\frac{4}{9}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ఉపయోగించి అసలు సూత్రీకరణను కారణాంకం వ్రాయండి. x_{1} కోసం 12ని మరియు x_{2} కోసం -\frac{4}{9}ని ప్రతిక్షేపించండి.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) ఆకృతిలో ఉన్న అన్ని మానములను p+q ఆకృతిలోకి సరళీకృతం చేయండి.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా yకు \frac{4}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

9 మరియు 9లో అతిపెద్ద ఉమ్మడి కారకము 9ను తీసివేయండి.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

మూల్యాంకనం చేయండి

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$