9x^2-24x=65 పరిష్కరించండి

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 65ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 9x^{2}+ax+bx-65 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -585ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

సమ్ -24ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-39 b=15$$

\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)ని 9x^{2}-24x-65 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-13ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-13=0 మరియు 3x+5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$9x^{2}-24x=65$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 65ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

65ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9, b స్థానంలో -24 మరియు c స్థానంలో -65 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

-24 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు -65ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

2340కు 576ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

2916 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

-24 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{24±54}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 54కు 24ని కూడండి.

$$x=\frac{78}{18}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{78}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{13}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{24±54}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 54ని 24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{30}{18}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-30}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$9x^{2}-24x=65$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

9తో భాగించడం ద్వారా 9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

3ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-24}{9} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{8}{3}ని 2తో భాగించి -\frac{4}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{4}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{4}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{16}{9}కు \frac{65}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

కారకం x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{4}{3}ని కూడండి.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$