9x^2-18x-16=0 పరిష్కరించండి

$$9 x ^ { 2 } - 18 x - 16 = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 9x^{2}+ax+bx-16 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-18 ab=9\left(-16\right)=-144$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -144ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

సమ్ -18ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-24 b=6$$

\left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right)ని 9x^{2}-18x-16 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(9x^{2}-24x\right)+\left(6x-16\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 3x-8ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(3x-8\right)\left(3x+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 3x-8=0 మరియు 3x+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9, b స్థానంలో -18 మరియు c స్థానంలో -16 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-18 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-36 సార్లు -16ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+576}}{2\times 9}$$

576కు 324ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{900}}{2\times 9}$$

900 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±30}{2\times 9}$$

-18 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 18.

$$x=\frac{18±30}{2\times 9}$$

2 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{18±30}{18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{18±30}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 30కు 18ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{18}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{48}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{8}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{18±30}{18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 30ని 18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{18}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-12}{18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$9x^{2}-18x-16=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 16ని కూడండి.

$$9x^{2}-18x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

-16ని దాని నుండే వ్యవకలనం చేస్తే 0 మిగులుతుంది.

$$9x^{2}-18x=-\left(-16\right)$$

-16ని 0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x^{2}-18x=16$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$\frac{9x^{2}-18x}{9}=\frac{16}{9}$$

9తో భాగించడం ద్వారా 9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{9}\right)x=\frac{16}{9}$$

9తో -18ని భాగించండి.

$$x^{2}-2x=\frac{16}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -2ని 2తో భాగించి -1ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -1 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-2x+1=\frac{16}{9}+1$$

1కు \frac{16}{9}ని కూడండి.

$$x^{2}-2x+1=\frac{25}{9}$$

కారకం x^{2}-2x+1. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-1=\frac{5}{3} x-1=-\frac{5}{3}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{2}{3}$$