9n^2-23n+20=3n^2 పరిష్కరించండి

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

nని పరిష్కరించండి

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

రెండు భాగాల నుండి 3n^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2}ని పొందడం కోసం 9n^{2} మరియు -3n^{2}ని జత చేయండి.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 6n^{2}+an+bn+20 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 120ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

సమ్ -23ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=-8$$

\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)ని 6n^{2}-23n+20 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3n మరియు రెండవ సమూహంలో -4 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2n-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2n-5=0 మరియు 3n-4=0ని పరిష్కరించండి.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండు భాగాల నుండి 3n^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2}ని పొందడం కోసం 9n^{2} మరియు -3n^{2}ని జత చేయండి.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 6, b స్థానంలో -23 మరియు c స్థానంలో 20 ప్రతిక్షేపించండి.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 వర్గము.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 సార్లు 20ని గుణించండి.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

-480కు 529ని కూడండి.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 సార్లు 6ని గుణించండి.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి n=\frac{23±7}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7కు 23ని కూడండి.

$$n=\frac{30}{12}$$

6ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{30}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$n=\frac{5}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి n=\frac{23±7}{12} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 7ని 23 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$n=\frac{16}{12}$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{16}{12} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$n=\frac{4}{3}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

రెండు భాగాల నుండి 3n^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

6n^{2}ని పొందడం కోసం 9n^{2} మరియు -3n^{2}ని జత చేయండి.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$6n^{2}-23n=-20$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6తో భాగించడం ద్వారా 6 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-20}{6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{23}{6}ని 2తో భాగించి -\frac{23}{12}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{23}{12} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{23}{12}ని వర్గము చేయండి.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{529}{144}కు -\frac{10}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{23}{12}ని కూడండి.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$